Неравенства

Содержание

Что такое числовые неравенства

Неравенство — это математическая запись, в которой сравниваются два выражения. Например: 5 > 2 — одно из самых простых числовых неравенств.
Такие выражения показывают, что одно число больше, меньше или не равно другому. Они часто встречаются в школьной программе по математике.

Основные свойства числовых неравенств

Чтобы правильно решать неравенства, нужно помнить их основные свойства:

• Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак не меняется.
• Если умножить или разделить обе части на положительное число, знак сохраняется.
• Если умножить или разделить обе части на отрицательное число, знак меняется на противоположный.

Эти правила помогают быстро преобразовывать выражения и находить решение.

Решение неравенств

Чтобы решить неравенство, нужно упростить его и найти, при каких значениях переменной оно становится верным. В зависимости от вида, используют разные методы: перебор, метод интервалов, построение графиков.

Виды неравенств

Существуют разные виды неравенств — от простых до более сложных. Вот основные из них:

Неравенства первой степени

Это выражения, где переменная стоит в первой степени, как в линейных уравнениях.

Пример:
3x — 6 < 0
Решаем: 3x < 6 → x < 2

Системы неравенств первой степени

Когда нужно одновременно решить два или более неравенств.

Пример:
x ≥ 1, x < 4
Общий ответ: 1 ≤ x < 4

Неравенства второй степени

Переменная стоит во второй степени — как в квадратных уравнениях.

Пример:
x² - 4 ≤ 0
Решение:
x² ≤ 4 → -2 ≤ x ≤ 2

Подобные одночлены

Подобными называют одночлены, у которых совпадают буквы и их показатели. Меняется только коэффициент.

Примеры

8m²n и -3m²n — подобные, а m³n и m²n — нет.

Сложение и вычитание одночленов

Складывать и вычитать можно только подобные одночлены. Складываются или вычитаются только коэффициенты, буквы остаются прежними.

Примеры

5x³y — 2x³y = 3x³y.

Умножение одночленов

При умножении нужно:

1. Перемножить коэффициенты.
2. Сложить показатели степеней одинаковых букв.

Примеры

2a³ x (-4a²b) = -8a⁵b.

Деление одночленов

При делении нужно поделить коэффициенты и вычесть показатели степеней одинаковых переменных.

Примеры

(6x⁵y²) ÷ (3x²y) = 2x³y.

Возведение одночленов в степень

При возведении в степень:

• коэффициент возводим в нужную степень;
• показатели букв умножаем на показатель степени.

Примеры

(2a²b)³ = 8a⁶b³.

В чем разница между многочленами и одночленами?

Все просто: одночлены — это одно произведение, а многочлены состоят из суммы или разности нескольких одночленов.