Рациональные дроби и их свойства

Содержание

Рациональные дроби — это выражения вида A (x)/B (x), где числитель и знаменатель являются многочленами, а знаменатель не равен нулю. Такие дроби часто встречаются в курсе алгебры 8 класса и помогают описывать алгебраические отношения между переменными. Их активно применяют при решении уравнений, преобразованиях выражений и в теме деления многочленов.

Основное свойство рациональной дроби

Главное свойство рациональной дроби заключается в следующем: если числитель и знаменатель умножать на один и тот же ненулевой многочлен, значение дроби не изменится.

Это свойство позволяет проводить сокращение, преобразование и приведение дробных выражений к более простому виду. Также оно используется при нахождении допустимых значений переменных, при которых дробь остаётся определённой.

Рациональная дробь

Дробное алгебраическое выражение считается рациональной дробью, если оно представляет собой частное двух многочленов. Такие дроби могут быть правильными и неправильными, числовыми и содержащими переменные.

Важно помнить: рациональная дробь не определена, если знаменатель обращается в ноль. Поэтому при решении задач обязательно нужно находить область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

С рациональными дробями выполняют те же действия, что и с обычными: сложение, вычитание, умножение и деление, а также сокращение и преобразование выражений.

Примеры решений:

ОДЗ: x≠0, x≠−1
Находим общий знаменатель: x(x+1)

Разложим на множители:

Сокращаем одинаковые множители:

Ответ: 1, при условии что x≠0,−1,1

Разложим знаменатель первой дроби: x²−4=(x−2)(x+2)
Перепишем выражение:

ОДЗ: x≠±2