«Ноль — это ничего. Почему тогда он меняет число?» Как говорить с ребёнком о нуле

— Мааам, ноль ведь означает, что тут ничего нет. Почему тогда, если написать его после пятёрки, получится не пять, а пятьдесят?

Вы заглянули в тетрадь ребёнка и сами вдруг задумались. Он смотрит то на 5, то на 50, пожимает плечами: «Не знаю. Ноль же ничего не прибавляет…» Возможно, вы уже приготовили объяснение про десятки и единицы. Но понять его даже самой с первого раза непросто: на бумаге появилось «ничего», а число стало в десять раз больше. Как же это «ничего» может увеличивать, и как это наглядно разъяснить?

Начать можно с четырёх пуговиц на столе. Посчитайте их вместе, а потом убирайте по одной. Последняя исчезла — стол пуст. «Сколько пуговиц осталось?» Ответ всё равно есть: ноль.

Можно записать его цифрой 0 и найти на числовой прямой: три шага влево от 3 приведут в 0, а два шага вправо от 0 — в 2. Пустой стол тоже можно описать числом, хотя считать на нём уже нечего.

«Но пуговиц же нет!» — может возразить ребёнок. И он прав. Можно ответить: «Да, ни одной. Вот это количество мы и называем нулём». Здесь не нужно убеждать его, будто на столе лежит какой-то особенный предмет по имени «ноль». Достаточно назвать результат того, что только что произошло у него на глазах.

Теперь вернитесь к вопросу, с которого начался разговор. Напишите рядом 5 и 50. Из пяти отдельных палочек получится 5. Чтобы показать 50, понадобится уже пять связок по десять палочек — это и будет ваш разряд десятков. Можно собрать одну такую связку вместе: ребёнок почувствует, что «десяток» — не новое название одной палочки, а десять штук сразу.

Запись можно прочитать вслух по частям:
5 — 5 единиц.
50 — 5 десятков и 0 отдельных единиц.

Пятёрка здесь меняет своё место и значение. В первом числе она обозначает пять единиц, во втором — пять десятков. Ноль справа сообщает: отдельных единиц сверх этих десятков нет. Когда мы приписываем его к 5, на листе появляется запись другого числа. Пять конфет в коробке при этом, конечно, остаются пятью конфетами. Пять связок — пятью связками, но пятьюдесятью палочками. Если ребёнку сложно в целом воспринять понятие разряда, он может подробно обсудить эту тему один на один с педагогом на одном из наших занятий по математике.

После 50 покажите число 205. Ноль здесь стоит посередине. Ребёнок может прочитать его правильно, а потом при записи случайно пропустить ноль. Получится 25. Похоже на мелкую оплошность, но число кардинально меняется.

Разложите 205 на сотни, десятки и единицы. Это 2 сотни, 0 десятков и 5 единиц. Теперь разложите 25: 2 десятка и 5 единиц. Если убрать ноль из 205, двойка окажется на месте десятков вместо сотен.

Поиграйте с рёбенком в игру: нарисуйте домик, а в нём три окошка комнат, в которых живут разные разряды: «сотни», «десятки», «единицы». Разложите в них карточки 2, 0, 5. «Что лежит в окошке десятков?» — «Ноль». Теперь уберите это окошко и составьте запись 25. Двойка уже обозначает два десятка. Ноль в числе 205 нужен как раз для того, чтобы двойка осталась на месте сотен.

Можно вместе проверить ещё один случай: 05 и 5 обозначают одно и то же целое число. Ноль перед пятёркой не добавил десятков — поэтому при обычной записи примеров его не пишут. А вот 50 уже отличается от 5. Поэтому вместо готового правила «ноль всегда увеличивает число» предложите ребёнку посмотреть, где именно стоит ноль, и на что влияет его местоположение.

Когда с разрядами стало понятнее, вернитесь к записи 5 + 0. Ребёнок может удивиться снова: «Почему тут пять так и осталось пять?» Чтобы в дальнейшем ребёнок не путал умножение и сложение, поставьте рядом 50 и 5 + 0. Выглядят похоже, а вот ситуации, которая за ними скрывается — совершенно разные.

В 50 пятёрка стоит на месте десятков. В 5 + 0 мы выполняем действие: к пяти предметам добавляем ноль предметов. Отложите пять связочек с палочками на край стола — пусть они там лежат для сравнения. Затем разложите пять карандашей и скажите: «А теперь добавим ещё ноль». Ребёнок может улыбнуться: рука даже не потянется за новым карандашом. Их по-прежнему пять.

Знак «плюс» меняет вопрос. Мы уже не читаем одно число слева направо, а узнаём, сколько получится после добавления. Можно спросить ребёнка: «Здесь ноль стоит внутри числа или мы прибавляем ноль карандашей?» Поначалу он вправе присматриваться к записи медленно.

С теми же карандашами легко проверить вычитание. При 5 − 0 попросите ребёнка забрать со стола ноль штук. Он ничего не возьмёт, останется пять. А при 5 − 5 уберёт все карандаши — и как раз и получится ноль! Так постепенно мелкая моторика и мышечная память сами будут подсказывать ребёнку, когда ничего не добавляется, а когда получается то самое ничего — и запомнить это в такой интерактивной форме гораздо легче и веселее.

Если ребёнок уже знает умножение, у него может появиться новый вопрос: «Мы прибавили ноль — осталось пять. А почему при умножении на ноль ответ ноль?» Не спешите отвечать «такое правило». Лучше показать, что именно мы считаем.

Поставьте три тарелки и положите на каждую по две ягоды или бумажных кружка. Всего шесть: три группы по два. Затем уберите ягоды с каждой тарелки. Тарелок всё ещё три, а ягод на каждой — ноль: 3 × 0 = 0. Пусть ребёнок заглянет в каждую и сам посчитает общий результат.

Конечно, в задачке ягоды убрали вы; знак умножения не заставил их исчезнуть. Теперь мы считаем предметы в трёх пустых группах. Если ребёнок спросит про 0 × 3, можно представить ноль групп по три ягоды. Групп нет — и ягод нет. Оба результата равны нулю.

Если ребёнок пока только осваивает сложение, оставьте тарелки до знакомства с умножением. Детский вопрос можно запомнить и вернуться к нему позже. Тёплый разговор о математике не обязан закончиться объяснением всех действий сразу.

С делением можно разобраться, когда ребёнок уже умеет делить поровну. Покажите две записи: 0 : 3 и 3 : 0. В обеих есть ноль, поэтому удивление вполне понятно. Но порядок чисел меняет задачу.

У вас нет конфет, а за столом трое детей. Если разделить 0 конфет между тремя, каждому достанется по ноль: 0 : 3 = 0. Можно усмехнуться, что угощение вышло скромным. Зато ответ однозначный.

Теперь поменяйте числа местами: 3 : 0. «На ноль делить нельзя» — привычная фраза, но если ребёнок спросит почему, проверьте деление умножением. 6 : 3 = 2, потому что 2 × 3 = 6. А для 3 : 0 пришлось бы найти число, которое при умножении на ноль даёт 3. Такого числа нет: результат всегда будет нулём. Можно вместе пробовать подставлять ответы, пока ребёнок не заметит, что ни один не подходит.

А если у вас впереди ещё целая страница домашнего задания? Вопрос про ноль может возникнуть прямо посреди неё, когда сил на большую беседу и игры уже нет. Вернитесь к примеру, над которым ребёнок сейчас сидит.

В записи 40 спросите: «Четыре здесь — единицы или десятки?» Для 4 + 0 положите четыре предмета и предложите добавить ещё ноль. А 4 × 0 можно нарисовать как четыре пустые группы. Возьмите пример, который нужен сейчас.

Бывает и наоборот: ответ у ребёнка правильный, а объяснить его пока трудно. Он читает 205, но говорит, что «ноль добавил двести». Можно вернуться к трём окошкам и предложить ему самому поставить цифры на места. Даже если объяснение не сложится сразу, вы увидите, какой шаг вызывает затруднение.

Если разговор уводит вас далеко от задания, запишите вопрос на полях тетради. «Ты здорово заметил. Давай сначала закончим этот пример, а к вопросу вернёмся вечером». Иногда и взрослому нужно время, чтобы подобрать удачное объяснение. Сказать об этом ребёнку вполне можно.

Если ребёнок только знакомится с числами и первыми действиями, ему могут подойти «Основы арифметики» Sirius Future. Расскажите педагогу не только «не понимает ноль», а то, что вы услышали дома: «Знает, что 5 + 0 = 5, но думает, будто ноль в числе 50 тоже означает “ничего не прибавили”». Такой пример покажет, где именно ребёнку нужна помощь.

Вечером можно снова показать ребёнку 5, 50 и 5 + 0. «Помнишь, я спрашивала тебя про ноль? Давай теперь вместе посмотрим, что он делает в каждой записи». Если ребёнок разложит пять палочек и пять десятков или просто покажет нужные окошки на рисунке, вопрос уже не будет казаться таким загадочным. А вам не придётся знать наизусть идеальное объяснение: вы нашли его вместе.